ドイツでは住民登録なしに何もできません。ベルリンの語学学校では必要がないところが多いようですが、都市によっては語学学校の登録にも住民録が必要なようです。
また引っ越ししてから14日以内に管理局で住民登録しなければならないと決められています。
住民登録するためにはまず住民登録が可能な家を見つける必要があります。
→「ドイツで住む家or部屋を見つける方法まとめ」
家が見つかったら次に必要書類をまとめましょう。
必要書類
・パスポート、身分証明証・登録書（市のホームページでダウンロードして埋めて持っていくこともできますが、管理局でもらうこともできます。）
・家主による引っ越しの証明書
（2015年11月以降必要になりました。家主さんが知らないこともあるので、引っ越ししたら新しい家主さんに"Einzugsbestätigung des Wohnungsgebers"が欲しいと伝えましょう。）
これらの書類は公式ページの"Formulare"と書いてあるところからPDFでダウンロードできます。
書類が揃ったら役所で住民登録をするための予約を取りましょう。（役所や住んでいる市によっては飛込で住民登録ができることもありますが、予約を取っている方が確実です）
予約を取ろう！
役所のホームページで"Termin Buchen"（予約）を押すと空いている日が表示されます。しかし大抵の場合空いている日がないのでページの中ほどの"Termin berlinweit suchen und buchen"（ベルリン中の空きを検索、予約）を押します。
（ベルリン以外の場所の場合は住んでいる「地域名 Anmeldung Termin」などで検索すると予約するページが出てきます）
運が良ければ空いている日があると思うので、予約しましょう。私は何回か見てみましたが予約が取れる日があることはまれでした。（ベルリンの場合特に混んでいることが多いため、他の州だとここまで大変ではないかもしれません）
そんな場合の解決法は2つ。
一つ目は電話で予約。二つ目は空いてそうな役所に朝早くから並ぶ。
一つ目ですが、役所のページに書いてある電話番号（私が掛けた時は90 24 990で月～金朝7時～午後8時まででした）に電話して予約が取れる日を聞きます。
この時は間に休暇が挟まる時期だったからか、電話したときから二週間以上先の日付を言われました。そんなに待ちたくなかったので二つ目の方法、朝からお役所に並ぶことにしました。
朝一番に行って並ぼう！
先ほどのページヘ行ってあちこちのお役所を順番に見ていくと、"nur mit Termin"(予約のみ)、"Für diese Dienstleistungen ist eine vorherige Terminvereinbarung zwingend erforderlich."(こちらでは事前の予約が義務化されています。)などと書かれているページ、それらが書かれていないページがあると思います。これが書かれていないお役所を見つけたらその役所が何時から開くのか見ます。
その時間の少なくとも30分前に行って並びましょう。
30分前に行ってももう並んでいる人がいると思います。
後に行けば行くほど、待ち時間が長引いたり受付が終わってしまったりするので注意が必要です。
いつまでこの手が使えるのか分かりませんが、電話での事前予約が必須になったら外国人にとっては少しハードルがあがりそうです。
ベルリン外では？
なお、ここで書いたのはベルリンについてなので他の都市だとまた違うと思います。他の都市のホームページなどは"wohnung anmeldung +都市名"などで検索すると出てくるので、そこで確認してから行きましょう。